ZASADY MECHANIKI

Przyrodę i jej prawa skrywał nocy cień.

Bóg rzekł: Newtonie, bądź. I nastał dzień.

Aleksander Pope

Manuskrypt O ruchu przesłany Halleyowi w 1684 r. był w zasadzie odtworzeniem wyników uzyskanych kilka lat wcześniej. Rozprawka liczyła zaledwie dziewięć stron i opierała się na dwóch definicjach oraz dwóch hipotezach. Taki był punkt wyjścia najważniejszej książki w dziejach nauki nowożytnej. Zestawienie rozprawy O ruchu z gotowym traktatem ukazuje, jak ogromną pracę wykonał Newton w ciągu dwóch lat. Podał prawa mechaniki w postaci, która nie wyma­gała zasadniczych zmian aż po początek XX wieku. Roz­wiązał wiele szczegółowych problemów mechaniki, których mate­matyczna trud­ność daleko przerastała wszystko, co do tej pory uzyskano w nau­ce. Odkrył wreszcie prawo powszechnego ciążenia i pokazał, jak za jego pomocą można objaśnić ruchy planet. Jedno­cześnie Newton potraktował te osiągnięcia jako wstęp do nowej filozofii przyrody, opartej na jego pojęciu siły jako przyczyny zmian ruchu.

Tytuł Philosophiae naturalis principia mathematica był pole­micznym nawiązaniem do dzieła Kartezjusza Principia philosophiae – jednym z głównych zamiarów Newtona było obalenie zasad fizyki Kartezjusza raz na zawsze. Zamiast szukać jakościowych przy­czyn, co było tradycyjnym tematem „filozofii przyrody”, Newton rozpatrywał formalne prawa matematyczne, jakim podlegają wszys­tkie bez wyjątku zjawiska. Newton we wstępie do traktatu przed­stawił swoje przedsięwzięcie jako kontynuację matematycznej me­chaniki starożytnych, nie ograniczoną jednak do sił występujących w maszynach, lecz rozszerzoną na takie siły działające w przyro­dzie, jak „ciężar i lekkość, siły sprężystości, opór płynów i inne siły tego rodzaju bądź to przyciągające, bądź to odpychające”. Trudność filozofii polega na „badaniu sił natury na podstawie zjawisk ruchu, które są przez nie wywoływane, oraz na udowadnianiu następnie innych zjawisk na podstawie tych sił”. Matematyka znalazła więc inne zastosowanie, niż wyobrażał to sobie Kartezjusz. Miała być źród­łem pewności w nauce nie jako metoda filozofowania, lecz po­przez uogólnienie owych lekceważonych „sztuk mechanicznych”.

Principia noszą ślady pośpiechu autora: zawierają wiele różno­rodnych wyników, nie zawsze prowadzących do wyraźnej kon­kluzji, dałoby się też z nich wykroić parę mniejszych traktatów. Osią dzieła i jego największym osiągnięciem jest teoria powszech­nego ciążenia zastosowana do Układu Słonecznego. Dwie pierwsze księgi są matematycznym przygotowaniem do księgi trzeciej trak­tującej o systemie świata.

Dzieło zaczyna się od zbioru definicji. Pierwszą jest definicja ilości materii, czyli w obecnej terminologii – masy. Określa ją Newton jako wielkość proporcjonalną zarówno do gęstości ciała, jak i do jego objętości. (Ponieważ gęstość ciała zależy według New­tona od tego, jaką część objętości ciała zajmuje materia, nie ma tu błędnego koła.) W XVII w. nie rozważano iloczynów czy ilorazów wielkości różniących się wymiarem, stąd nie pojawia się określenie masy jako iloczynu gęstości i objętości. Precyzyjne pojęcie masy pojawia się w Principiach po raz pierwszy, choć oczywiście już wcześniej powszechne były intuicje dotyczące związku wielkości ciała z jego bezwładnością. Z kolei ilość materii oraz prędkość ciała składają się na ilość ruchu – dzisiejszy pęd. Newton dokładnie zdawał sobie sprawę, że pojęcie to musi obejmować nie tylko wielkość, lecz również kierunek ruchu.

Dwa pojęcia siły: jako zewnętrznej przyczyny zmiany ruchu i wew­nętrznej siły podtrzymującej ruch utrzymały się również w Principiach. Pierwszą ze zdefiniowanych tam sił jest vis insita – siła właściwa materii, wrodzona jej w sposób naturalny. Vis insita jest bezwładnością, tym, co do dziś określa się potocznie jako siłę bezwładności. Siła ta jest oporem materii przed zmianami jej ruchu. Dzięki sile bezwładności ciało nie zakłócane pozostaje w swoim stanie ruchu.

Najważniejszym rodzajem siły, tym, co obecnie nazywamy krót­ko siłą, jest vis impressa – siła nadana ciału czy przyłożona do ciała („włożona” w ciało). Jest ona samym działaniem, przez które zmie­nia się stan ruchu. Źródłem vis impressa może być np. zderzenie czy nacisk.

Wprowadzenie pojęcia siły jako podstawy nie tylko mechaniki, ale przez nią i całej fizyki jest jednym z najważniejszych osiągnięć Newtona. Jego poprzednicy i współcześni starali się raczej wyelimi­nować pojęcie siły jako zbyt antropomorficzne. Newton potrafił nadać mu sens matematyczny i przyczynowy, choć spory wokół te­go pojęcia nie ustały właściwie nigdy.

W słynnym Scholium (Pouczenie) dotyczącym pojęć czasu i prze­strzeni podtrzymuje Newton swoje stanowisko z De gravi­ta­tione: istnieje przestrzeń absolutna i czas absolutny, są one nieza­leżne od ciał, ich ruchów oraz wszelkich zjawisk. Absolutna prze­strzeń Barrowa i platoników z Cambridge stała się sceną mate­matycznej mechaniki Newtona.

Skoro istnieje przestrzeń absolutna, to należy odróżniać ruch względ­ny od absolutnego. Zdaniem Newtona nie wystarczy określić położenie ciała względem jego otoczenia (jak chciałby Kartezjusz), lecz należy do ruchu ciała względem ruchomego miejsca dodać ruch tego miejsca względem innych miejsc itd. – aż dojdziemy do miejsc absolutnie nieruchomych, które zawsze zachowują swe usytuowanie.

Ruch prawdziwy i absolutny wywoływany jest przez pewną przy­łożoną siłę (vis impressa), ruch względny natomiast może zo­stać nadany lub zmieniony bez działania siły. Tylko dla ruchu abso­lut­nego zachowany jest związek między przyczyną,  tj. siłą, a skut­kiem, tj. ruchem.

Ruch względny i absolutny można także rozróżnić po skutkach. Pojawia się tu słynny przykład wiadra z wodą zawieszonego na skrę­conym sznurze. Gdy sznur zaczyna się rozkręcać i obraca wia­drem, powierzchnia wody w wiadrze staje się wklęsła, mimo że względem wiadra – swego bezpośredniego otoczenia – woda się nie porusza. Możemy zatem rozstrzygnąć doświadczalnie, czy woda obraca się w sensie absolutnym, czy nie. Dla Newtona istnieje jeden ruch absolutny i nieskończenie wiele ruchów względnych, które nie mają konsekwencji dynamicznych. Newton zdaje sobie sprawę z trudności ustalenia ruchu abolutnego, sądzi wszelako, że jest to mo­ż­liwe. W rzeczywistości zasady mechaniki Newtona nie poz­walają jednak odróżnić absolutnego ruchu jednostajnego i prostoli­niowego od spoczynku. Dlatego rozważając w III księdze system świata Newton musiał przyjąć dodatkową hipotezę, że środek masy świata pozostaje w spoczynku.

Newton sformułował następnie słynne trzy prawa ruchu, które są aksjomatami jego teorii. W oryginalnym sformułowaniu brzmią one następująco:

I prawo: Każde ciało pozostaje w stanie spoczynku lub ruchu jedno­stajnego prostoliniowego, jeśli przyłożona do niego siła [vis impressa] nie zmusi go do zmiany tego stanu.

II prawo: Zmiana ruchu jest proporcjonalna do siły poruszającej przy­łożonej [vis motrix impressa] do ciała i dokonuje się w kierunku linii prostej, wzdłuż której została przyłożona siła.

III prawo: Reakcja jest zawsze przeciwna i równa akcji: działania, jakie wywierają na siebie dwa ciała, są zawsze równe i skierowane w prze­ciwnych kierunkach [47, 49, 51].

Dwie pierwsze zasady dynamiki były uściśleniem intuicji mniej lub bardziej znanych wielu uczonym uprawiającym mechanikę. Sam Newton, niechętnie przyznający się do jakiegokolwiek długu wobec poprzedników, wymienia w tym kontekście Galileusza oraz osobno Huygensa, Wrena i Wallisa, którzy zbadali problem zderzeń – to prawa zderzeń uważane były dotąd za podstawowe prawa przyrody. W przypadku III zasady zasługa Newtona jest nie­wątpliwa: zasada ta prawie nie ma prehistorii.

W prawach ruchu siła pojawia się już właściwie tylko w jednej postaci – jako vis impressa, siła działająca, przekazująca pęd. Siła wewnętrzna, vis insita, ma znaczenie czysto spekulatywne, nie jest ona używana w rozważaniach ilościowych, jej sens sprowadza się do tego, że możemy charakteryzować ciało podając jego masę.

W sformułowaniu II prawa Newtona nie pojawia się czas. Siła nie jest, jak dziś, zmianą pędu w jednostkowym czasie, lecz zmianą pędu zachodzącą w pewnym czasie. W ówczesnym języku proporcji wszelkie wielkości proporcjonalne do siły mogły być z nią utoż­samiane: takie pojęcia, jak popęd czy chwilowa wartość siły, nie były wyraźnie rozróżniane i Newton posługiwał się nimi wymien­nie, zdając sobie doskonale sprawę, że zmiana pędu jest pro­por­cjo­nalna i do samej siły chwilowej, i do czasu jej działania.

Jako osobny rodzaj sił zdefiniował Newton siłę dośrodkową, przez którą ciało jest przyciągane, popychane lub w jakikolwiek sposób dąży do pewnego centrum (dziś używa się w tym znaczeniu raczej określenia – siła centralna). Termin Newtona ukuty został w analogii do siły odśrodkowej wprowadzonej przez Huygensa. Ko­ron­nym przykładem siły dośrodkowej była oczywiście grawitacja. Newton chciał jednak rozważać tę siłę czysto abstrakcyjnie, bez względu na jej fizyczne pochodzenie, a dopiero później dysku­tować, jak wiernie model matematyczny opisuje rzeczywistość.

Idee Hooke'a dotyczące ruchu po zakrzywionych torach znalaz­ły więc u Newtona dokładne sformułowanie. Ruch po okręgu przes­tał być rozpatrywany jako stan równowagi między siłą odśrodkową i jakąś inną siłą zwróconą do środka. Modelem matematycznym ta­kie­go ruchu nie jest równowaga, lecz swobodny spadek, rozważany jeszcze przez Galileusza. Ruch po okręgu jest bowiem w każdej chwili równoważny spadkowi na centrum. Oba podejścia mate­matyczne zastosowane pod wpływem listów Hooke'a – impulsowe i ciągłe – rozwinęły się w techniki stale używane w Principiach.

Niewielu uczonych przestudiowało techniczne szczegóły Princi­piów, należeli do nich Huygens, Leibniz, francuski ksiądz Pierre Varignon i hugonocki emigrant w Londynie Abraham de Moivre oraz niektórzy angielscy zwolennicy Newtona, jak Halley czy Cotes. Mimo to pierwszy nakład książki rozszedł się w ciągu kilku lat, co dowodzi sławy traktatu, jak i tego, że potrzeba posia­dania ksiażek zawsze była silniejsza niż potrzeba ich czytania. Za życia Newtona Principia miały jeszcze trzy wydania łacińskie i jed­no angielskie. Nie tylko szersza publiczność, lecz również znako­mita większość uczonych nie była przygotowana do zmagania się z tak trudnym dziełem. Whiston, późniejszy następca Newtona na ka­te­drze, jako student słuchał w 1686 r. wykładów Newtona doty­czą­cych mecha­niki i wspominał później, że nic z nich nie rozumiał.

Język matematyczny Principiów jest swego rodzaju analizą ma­tematyczną sformułowaną w sposób geometryczny na użytek tej jednej książki. Od pewnego czasu Newton starał się uwalniać anali­zę od algebraicznego podejścia „nowożytnych” – czyli Kartezjusza – na rzecz czysto geometrycznych rozważań, które zgodne były rze­ko­mo z duchem geometrii starożytnych. Rozwój analizy poszedł dokładnie w przeciwnym kierunku, dzięki czemu dzisiejszy czytel­nik brnąc z trudem przez geometrycznie ujęte rachunki łatwiej może wyobrazić sobie trudności, jakie nastręczała lektura traktatu w XVII w. Znane obecnie ujęcie matematyczne mechaniki Newtona jest dopiero dziełem uczonych XVIII w. Nie była to jedynie kwestia zmiany zapisu, o czym może świadczyć fakt, iż tak wybitny uczony jak Johann Bernoulli publikował analityczne wersje kilku dowodów Newtona jako oryginalne prace.

 

 

* * *

 

 

Dwie pierwsze księgi Principiów dotyczą ruchu ciał rozpatry­wanego czysto matematycznie, na podstawie definicji i praw ruchu. Tematem I księgi jest ruch ciał pod działaniem sił zmieniających się w zadany sposób, głównie sił centralnych, a wśród nich najważ­niejszej: przyciągania odwrotnie proporcjonalnego do kwadratu odległości, na razie traktowanego jako matematyczna abstrakcja. Pierwsze twierdzenie księgi I mówi, że w ruchu pod wpływem sił skierowanych ku pewnemu centrum spełnione jest prawo pól, czyli II prawo Keplera – jest to twierdzenie udowodnione kilka lat wcześniej pod wpływem listów Hooke'a. Newton bada następnie ruchy po okręgu i po keplerowskiej elipsie wykazując, że ruch taki musi być wywoływany siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości. Był to historyczny punkt wyjścia Principiów, wynik, który takie wrażenie wywarł na Halleyu, a który również pochodził jeszcze z 1680 roku.

Księga I zawiera jednak o wiele więcej. Newton wykazuje twier­dzenie odwrotne, że przyciąganie według prawa odwrotnych kwad­ratów musi prowadzić do ruchu po jednej z krzywych stożkowych, że w szczególności dla orbit zamkniętych obowiązuje III prawo Keplera. Zajmuje się również siłami zmieniającymi się z odległością według innych praw. Bada wyczerpująco ruch pod wpływem przy­ciągania proporcjonalnego do odległości, daje wyniki dla przycią­gania odwrotnie proporcjonalnego do sześcianu odległości itd. Najwyraźniej Newton chciał wiedzieć, co wyróżnia prawo odwrot­nych kwadratów spośród innych praw możliwych do pomyślenia.

Jedno z twierdzeń podaje rozwiązanie problemu ruchu pod działaniem dowolnej siły centralnej w sposób ogólny. Newton bada również ruch orbitalny ciała pod wpływem siły spadającej z inną potęgą odległości niż druga. Wynik ten zastosowany był potem do ruchu Księżyca.

Zgodnie z III prawem ruchu oddziaływanie musi być wzajemne. Za każdym razem należy więc badać ruch wszystkich ciał działa­jących na siebie nawzajem. Dwa przyciągające się ciała zakreślają orbity podobne do siebie i problem redukuje się do ruchu wokół nieruchomego centrum. Dla trzech lub więcej ciał sytuacja jest bardziej skomplikowana. Analiza zagadnienia trzech ciał jest rów­nież jednym z tematów tej księgi.

Innym ważnym tematem I księgi jest badanie przyciągania ciał o kształcie sferycznym lub zbliżonym do sfery. Udowodnił tutaj Newton w szczególności, że przyciąganie kuli można zastąpić przy­ciąganiem punktu materialnego umieszczonego w środku kuli. Twierdzenie to umożliwiało porównanie ciążenia, np. jabłka i Księ­życa, ku Ziemi.

Tematem księgi II jest ruch ciał z uwzględnieniem oporu ośrod­ków. Celem było wykazanie z jednej strony, że eter musi być niezmiernie rozrzedzony, z drugiej zaś – że teoria wirów Kar­tezjusza przeczy prawom mechaniki.

Newton badał zależność oporu od kształtu i rozmiarów ciała oraz od jego prędkości i gęstości ośrodka. Rozpatrywał różne możli­we przyczyny oporu ośrodka, które prowadzą do sił oporu nieza­leżnych od prędkości, bądź proporcjonalnych do jej pierwszej albo drugiej potęgi. Opór proporcjonalny do kwadratu prędkości powi­nien występować zawsze, choćby cząstki ośrodka były najbardziej nawet rozdrobnione, gdyż zależy tylko od ich łącznej masy. Dzięki temu Newton mógł doświadczalnie zbadać kwestię istnienia eteru. W tym celu obserwował on ruch wahadeł sporządzanych z różnych materiałów. W każdym wypadku obserwowany opór ośrodka moż­na było przypisać wyłącznie działaniu powietrza. Wyniki tych eks­pe­ry­mentów wykazały, że opór eteru jest co najmniej 5 000 razy mniejszy od oporu powietrza. Wykluczało to możliwość istnienia gęstego eteru bez względu na rozdrobnienie jego cząstek. Doś­wiadczenie przeprowadzone na Ziemi umożliwiło Newtonowi sfor­mu­łowanie ważnych wniosków na temat budowy Kosmosu.

W II księdze Newton zajął się również ruchem falowym. Tu właś­nie przedstawił twierdzenie o ugięciu fali po przejściu przez szcze­li­nę. Korzystając w mistrzowski sposób z analogii do ruchu wahadeł Newton obliczył po raz pierwszy prędkość rozchodzenia się fal na wodzie oraz prędkość dźwięku. Obliczenia prędkości dźwięku po­rów­nał z wynikami doświadczeń, otrzymując zgodność aż czterech cyfr znaczących. Tak ścisła zgodność świadczy jednak niestety przeciwko Newtonowi. Wyniki doświadczalne w jego cza­sach nie mogły w żaden sposób być tak dokładne. Kiedy sam po raz pierw­szy mierzył prędkość dźwięku przez mierzenie czasu po­wrotu echa odbitego od kolumnady Nevill's Court, mógł stwierdzić jedynie, że prędkość zawarta jest pomiędzy 866 a 1272 stopy na sekundę (czas mierzył za pomocą wahadełek o dobieranych odpo­wiednio długoś­ciach). Aby otrzymać tę iluzoryczną zgodność teore­tycznego prawa z danymi doświadczalnymi, Newton przyjął cały szereg dodatko­wych, specjalnie dobranych założeń i odpowiednio wyselekcjo­no­wał dane liczbowe. Jak dużo później, w 1814 r., udo­wod­nił Laplace, wzór Newtona daje wynik zaniżony o 20%, nie uw­z­ględ­nia bo­wiem współczynnika związanego z adiabatycznością procesu.

Ostatnia część II księgi jest zastosowaniem mechaniki Newtona do obalenia teorii wirów Kartezjusza. Newton wykazał, że karte­zjańskie wiry byłyby nietrwałe, gdyby nawet mogły się utworzyć. Ponadto czas obiegu cząstek cieczy byłby proporcjonalny do kwad­ratu odległości od centrum – niezgodnie z III prawem Keplera. W Scholium kończącym II księgę Newton wykazał, że również prawo pól jest nie do pogodzenia z teorią wirów, ponieważ ciecz musi przepływać szybciej tam, gdzie porusza się w mniejszym przekroju.

Principia zawierają mechaniczne wyprowadzenia niemal wszyst­kich znanych wówczas matematycznych praw fizyki, takich jak pra­wo Snella, prawo Boyle'a, prawa wahadeł itd., największą jednak część tego pod każdym względem ogromnego dzieła stanowią wyniki uzyskane przez samego Newtona. Z perspektywy mechaniki Newtona osiągnięcia, którym poprzednicy poświęcali całe traktaty, stawały się prostymi wnioskami z ogólnych zasad. Zamiast archi­pelagu rozproszonych wyników ukazał się cały nowy, nie prze­czuwany dotąd kontynent nauki.